По образованию певица концертно-камерная певица, солистка. Окончила в конце 90-х Академию хорового искусства, вокальное отделение. В самом начале 2000-х гг. артистка была принята в Новую Оперу в качестве оперной солистки. С тех пор началась ее активная гастрольная деятельность по Европе.
В 2012 году она выступила в Мексике. Она участвовала в исполнении «Реквиема».
С 2014 года участвует в представлениях Самарского театра оперы и балета, исполняя одну из партий в опере «Аида». В 2015 году гастролировала в Израиле и Германии вместе с оперной труппой Новой Оперы.
Анастасия Бабичева с 2015 г. выступает как приглашенная певица Большого театра.
Преподавательской работой занимается с 2006 года.
Артистка является основной солисткой театра «Новая опера», приглашенной солисткой ГАБТ России, оперного театра Самары и Неушателя (Швейцария). Она дважды была призером международных фестивалей. Ее сценическая практика уже более двух десятков лет.
Артистка имеет собственную дискографию. В нее входят 3 выступления певицы, записанные на DVD.
